プロフィール
谷藤友彦(やとうともひこ)

谷藤友彦

 東京都城北エリア(板橋・練馬・荒川・台東・北)を中心に活動する中小企業診断士(経営コンサルタント、研修・セミナー講師)。2007年8月中小企業診断士登録。主な実績はこちら

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2013年03月07日

【数学C】行列~京都大学らしい1次変換の入試問題


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 -π/2<α<π/2とする。座標平面上で原点の周りにπ/3回転する1次変換を f とし、直線 y=(tanα)x について対称移動する1次変換を g とする。合成変換 f◌g がx軸について対称移動する1次変換と一致するとき、αの値を求めよ。
 京都大学の入試問題。突然思い立って、去年から数学ⅢCの勉強を始めたのだが、京大の問題が解けるようになるとやっぱりテンションが上がる。といっても、黄チャートに載っている京大の問題は、行列のこの問題ぐらいしかないのだが・・・。

 1次変換 f を表す行列は簡単。1次変換 g を表す行列の求め方がこの問題のポイントになるわけだが、直線についての対称移動を表す1次変換の求め方の王道((1)移動前・移動後の2点を結ぶ線分の中点が直線上にある、(2)移動前・移動後の2点を結ぶ線分と直線が直交する)で計算してみると、やや面倒ではあるものの以下のようになる。

【数学C】行列・1次変換(京都大学入試問題)(1)

 ただし、この問題は、1次変換 g の図形的な意味をよく考えればもっと簡単に計算できることが、解答例を見て解った。直線 y=(tanα)xは、傾きαの直線である。ある点を直線 y=(tanα)x について対称移動させるということは、その点を(1)まず-α回転させる⇒(2)次に、x軸について対称移動させる⇒(3)最後にα回転させる、ということと同じである。したがって、1次変換 g は以下のようにして求めることができる。

【数学C】行列・1次変換(京都大学入試問題)(2)

 個人的な感触ではあるが、京大の入試問題には、頑張って計算すれば多少無理矢理であっても解にたどり着けるが、実は別のいい方法を思いつくといとも簡単に解けるという問題が多いように感じる(一方、東大の問題は、いい方法を思いつかないと手も足も出ない、という感じがする)。この問題は、そんな京大らしさが表れている問題のように思えた。

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