プロフィール
谷藤友彦(やとうともひこ)

谷藤友彦

 東京都城北エリア(板橋・練馬・荒川・台東・北)を中心に活動する中小企業診断士(経営コンサルタント、研修・セミナー講師)。2007年8月中小企業診断士登録。主な実績はこちら

 好きなもの=Mr.Childrenサザンオールスターズoasis阪神タイガース水曜どうでしょう、数学(30歳を過ぎてから数学ⅢCをやり出した)。

◆旧ブログ◆
マネジメント・フロンティア
~終わりなき旅~


◆別館◆
こぼれ落ちたピース
シャイン経営研究所HP
シャイン経営研究所
 (私の個人事務所)

※2019年にWordpressに移行しました。
>>>シャイン経営研究所(中小企業診断士・谷藤友彦)

Next:
next 【ベンチャー失敗の教訓(第22回)】明確な成果物を顧客に提示できないビジネス
Prev:
prev 『破壊的イノベーション(DHBR2013年6月号)』―イノベーションの組織は必ずしも独立運営が望ましいわけではない
2013年06月14日

【数学Ⅰ】x^2+y^2+z^2=xyz(x、y、zは正の整数、x≦y≦z)を満たす(x, y, z)の組は無数に存在することを示せ(東京大)


チャート式 基礎からの数学1+A 改訂版チャート式 基礎からの数学1+A 改訂版
チャート研究所

数研出版 2007-01-30

Amazonで詳しく見る by G-Tools

 久しぶりに数学ネタ。昨年の数学ⅢC(黄チャート)に続いて、今年は数学ⅠA(青チャート)に取り組んでいるのだが、東大の入試問題を1問解くことができた(嬉しい)。
 nを正の整数とする。実数x、y、zに対する方程式
   xn+yn+zn=xyz ・・・ ①
を考える。
 (1)n=1のとき、①を満たす正の実数の組(x,y,z)で、x≦y≦zとなるものをすべて求めよ。
 (2)n=3のとき、①を満たす正の実数の組(x,y,z)は存在しないことを示せ。
 方程式の整数解を求める問題。x≦y≦zという条件をうまく利用して、与えられた等式を不等式に持ち込み、値の範囲を絞り込むのがポイントとなる。(2)は背理法で証明する。

東大入試問題_数学Ⅰ(方程式の整数解)(1)

 では、n=2の時はどうなるのか?と気になるのが人間の性というもので、調べてみたら2006年度の入試問題(理系)にちゃんとあった。さすが東大。ぬかりないな。
 次の条件を満たす組(x,y,z)を考える。
   条件(A):x、y、zは正の整数で、x2+y2+z2=xyz および x≦y≦zを満たす。
 以下の問いに答えよ。
 (1)条件(A)を満たす組(x,y,z)で、y≦3となるものをすべて求めよ。
 (2)組(a,b,c)が条件(A)を満たすとする。このとき、組(b,c,z)が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。
 (3)条件(A)を見たす組(x,y,z)は無数に存在することを示せ。
 (1)については、y≦3かつx≦yであるから、(x,y)の組が自然と定まる。その1つ1つについて、zの2次方程式を解けば力技で解ける。だが、力技でもよしとする京大の入試問題とは違って(以前の記事「【数学C】行列~京都大学らしい1次変換の入試問題」を参照)、力技を嫌うのが東大の伝統であるから、<別解>のように説くのが望ましいだろう。すなわち、与式をzの2次方程式と見なして、実数解を持つための条件からxとyの値を絞り込む。

 実は、<別解>のように解かないと、(2)のz-c>0を示すところで b≧3 という発想が出てこずに行き詰まってしまう((3)も同じ)。よくできた問題だ(感心)。

東大入試問題_数学Ⅰ(方程式の整数解)(2)
東大入試問題_数学Ⅰ(方程式の整数解)(3)


  • ライブドアブログ
©2012-2017 free to write WHATEVER I like