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【数学ⅡB】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)
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谷藤友彦(やとうともひこ)

谷藤友彦

 東京23区、神奈川県川崎市・横浜市を中心に活動する中小企業診断士・コンサルタント。

 専門領域は、(1)経営ビジョン・事業戦略の策定、(2)ビジョンや戦略とリンクした人材育成計画の立案・人事評価制度の構築、(3)人材育成計画に沿った教育研修プログラムの企画・開発。

 モットーは「日々改善、日々成長」、「実事求是」、「組織のためではなく知識のために働く」、「奇策は定石より先に立たず」、「一貫性(Consistency)」、「(無知の知ならぬ)無知の恥」

 好きなもの=Mr.Childrenサザンオールスターズoasis阪神タイガース水曜どうでしょう、数学(30歳を過ぎてから数学ⅢCをやり出した)。

 ブログタイトルに、oasisの往年の名曲『Whatever』を入れてみた。

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2017年01月18日

【数学ⅡB】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)

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数学

 《過去の戦歴》
 センター試験数学ⅡB(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(旧ブログ)
 【数学ⅡB】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅡB】2014年センター試験を3年連続で解いてみた
 【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)
 【数学ⅡB】センター試験(2016年)を解いてみた(5年連続)

 <予備校による解説>
 東進ハイスクール センター試験2017年 数学ⅡB

 解くのにすごく時間がかかったけれど、数学ⅡBは一応満点を取ることができた。数学ⅠAのような力技に頼らず、王道の解き方をしたつもりである。やはり年齢を重ねると計算のスピードが落ちるようである。それから、細かい勘違いやミスが多い。センター試験の場合は、解答欄にぴったりあてはまる答えでないと、答えが間違っていると教えてくれるため、今回はそれに随分と助けられた。以下の難易度はあくまでも私の主観である。

 【第1問】《難易度:★☆☆》三角関数/指数・対数関数
 〔1〕は、cos2α+cos2βとcos2α・cos2βの値が求められれば、2次方程式の解と係数の関係より、cos2αとcos2βがx2-17/15x+4/15=0の2つの解であることが解る。〔2〕は、logxan=nlogxa、logxa+logxb=logxa・b、logxa-logxb=logxa/bと変形できることを利用する。

 【第2問】《難易度:★☆☆》微分・積分
 センター試験特有の計算の面倒臭さはあるが、問われている内容は至ってシンプルである。S=-2(a3-a2)ではなく、S=2(a2-a3)と答えさせるところが若干いやらしいと感じた。面積の最大値や値の変化を求める際には、aの値の範囲に注意して増減表を書く。

 【第3問】《難易度:★★☆》数列
 Unを求めるために、Un-4Unを計算させている。下図のように、Unに4をかけると、項が1つずつ右にずれるので、Un-4Un=2・42+43+44+・・・+4n+1-(n+1)・4n+2となる。ここで、43+44+・・・+4n+1を、(1+4+42+43+44+・・・+4n-1)-(1+4+42)+(4n+4n+1)と変形し、等比数列の和の公式を用いて計算をする。余談だが、4Unの最後の項を(n+1)・4n+2ではなく、ずっと(n+1)・4n+1と勘違いしたまま計算していたため、解答欄に合った答えが得られずに随分と時間を食ってしまった。加齢の証拠である。

 【第4問】《難易度:★★☆》ベクトル
 ここでも、(3)において、点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線の交点Hのことを、最初は点Cから直線EPに引いた垂線と直線EPの交点と勘違いしてしまった。Hの座標を(p, q)とすると、ベクトルCHが得られる。ベクトルCHとベクトルEPが垂直に交わることから、ベクトルCH・ベクトルEP=0となり、a、p、qからなる式が得られる。また、Hは直線EP上の点であるから、ベクトルEH=rベクトルEPと表せる。よって、aとrからなる式が得られる。ところが、3つの変数(p、q、r)に対し式が2つだけなので、どうすればよいものかと途方に暮れてしまった。自分の勘違いにようやく気づくと、HはPからCE上に下ろした垂線上にあることから、Hのy座標はaだと解った。あとは、x座標をpとおけば、ベクトルCH・ベクトルEP=0よりpが得られる。

 (※【第5問】は確率の問題であり、私が高校生の時の学習範囲から外れるため省略した)
 
センター試験(2017年)数学ⅡB①
センター試験(2017年)数学ⅡB②
センター試験(2017年)数学ⅡB③
センター試験(2017年)数学ⅡB④


カテゴリ: 数学 コメント( 0 )
2017年01月17日

【数学ⅠA】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)

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数学

 《過去の戦歴》
 センター試験数学ⅠA(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(旧ブログ)
 【数学ⅠA】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅠA】2014年センター試験を3年連続で解いてみた
 【数学ⅠA】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)
 【数学ⅠA】センター試験(2016年)を解いてみた(5年連続)

 <予備校による解説>
 東進ハイスクール センター試験2017年 数学ⅠA

 30歳を過ぎてからなぜか毎年この時期にセンター試験の数学の問題を解くようになり、今年で6年目である。今年の数学ⅠAは1問間違えて、1問はどうしても解けなかった(悔しい)。整数の問題は相変わらず苦手である。下記の画像でもお解りのように、力技でかなり強引に解いた。以下の難易度は、あくまでも私の主観である。

 【第1問】《難易度:★★☆》式の計算/命題と条件/2次関数
 〔1〕は単純な式の計算。〔2〕の「命題と条件」で1問間違えてしまった。(pまたはqの否定)(x=1またはx2≠1)⇒q(x2=1)は偽である(反例:x=1)。また、q(x2=1)⇒(pまたはqの否定)(x=1またはx2≠1)も偽である(反例:x=-1)。よって、(pまたはqの否定)はqであるための「必要条件でも十分条件でもない」が正解。〔3〕の「2次関数」も単純な計算問題。最後に頂点のy座標の最小値を求めるところで、下図ではいきなりt=0のとき最小値となると書いてしまったが、正確には、t=a2よりt≧0であるから、t=0のとき最小値となる、と書くのが正しい。

 【第2問】《難易度:★☆☆》三角比/データと分析
 〔1〕は正弦定理、余弦定理、三角比を用いた三角形の面積の求め方を知っていれば解ける。△ABCの外接円の半径を求めるところで、下図では正弦定理を用いてAC/sin∠ABC=2Rと書いているが、右辺は「直径の2倍」だと勘違いしたまま、さらに求めるのも外接円の「直径」だと勘違いしたまま解いていた(汗)。結果的に正解だったからよかったが・・・。〔2〕の「データ分析」は、私が高校生の時には学習範囲外だったため省略。ただ、基本的な統計の問題であり、中小企業診断士の試験にも出てくるような問題であるから、来年は解けるようになりたい。

 【第3問】《難易度:★★☆》確率
 和事象を尋ねる問題が目新しいと感じた。B、Cの少なくとも一方があたりくじを引く場合は、「Bのみがあたりを引く(P)」、「Cのみがあたりを引く(Q)」、「AとBがあたりを引く(R)」、「BとCがあたりを引く(S)」、「CとAがあたりを引く(T)」の5つの場合である。

 ⓪Aがはずれのくじを引く事象⇒BまたはCがあたりを引く事象
 ①Aだけがはずれのくじを引く事象⇒BとCがあたりを引く事象
 ②Bがはずれのくじを引く事象⇒CまたはAがあたりを引く事象
 ③Bだけがはずれのくじを引く事象⇒CとAがあたりを引く事象
 ④Cがはずれのくじを引く事象⇒AまたはBがあたりを引く事象
 ⑤Cだけがはずれのくじを引く事象⇒AとBがあたりを引く事象

 P、Q、Sを合わせたものが①に該当する。Rは⑤に、Tは③に該当する。よって、事象E2は①③⑤の和事象である。くじ引きの対象性より、B、Cの少なくとも一方があたりのくじを引く確率、C、Aの少なくとも一方があたりのくじを引く確率、A、Bの少なくとも一方があたりのくじを引く確率は等しい。これに気づけば、(5)は3つの条件つき確率を計算しなくても回答できる。

 【第4問】《難易度:★★★》実数
 (2)は力技で説いた。7b5cが4でも9でも割り切れる時、7b5cは36の倍数である。7b5c=7000+100b+50+c=36(195+2b)+(28b+c+30)と変形し、(28b+c+30)が36の倍数となるようなb、cの組み合わせを、実際にb、cをそれぞれ0~9まで変化させて発見した。ただし、cに関して言えば、7b5cが36の倍数であることから、cは0、2、4、6、8のいずれかでしかないので、多少は絞り込める。本当の解き方は次の通りである。まず、7b5cが4で割り切れることから、5cが4の倍数であるため、cは2または6に限定される。次に、7b5cが9で割り切れることから、各位の数の和は9の倍数であり、7+b+5+c=12+b+cは9の倍数である。0≦b+c≦18より、12≦12+b+c≦30であり、b+c≦18となる。c=2の時、b=4、c=6の時、b=0、9となる。

 1188の全ての正の約数の積を2進数で表す時、2=10(2)であるから、2の倍数を1つかけるたびに0が1つ増えることが解る。4=100(2)より、4の倍数を1つかけると0が2つ増えることに注意すると、求める0の数は、2の倍数の数と4の倍数の和である。

 【第5問】《難易度:★★☆》平面図形/三角比
 私の作図がそもそも間違っていた(大汗)。△ABDの内接円と書かれているのに、BとDしか通っていない。BC・CEは直感的にAC・ADに等しいだろうと思って計算した。正確に作図すれば、方べきの定理を用いることになる。私の作図ではAF>BFとなるが、メネラウスの定理を使ってBF/AFを計算したところ12/7となった。これはBF>AFを意味しており、図が矛盾してここで詰んだ。正確に作図していればちゃんとBF>AFとなるため、BF/AF=12/7よりAFが計算できる。

センター試験(2017年)数学ⅠA①
センター試験(2017年)数学ⅠA②
センター試験(2017年)数学ⅠA③
センター試験(2017年)数学ⅠA④
センター試験(2017年)数学ⅠA⑤


カテゴリ: 数学 コメント( 0 )
2016年01月19日

【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(5年連続)

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 自分でもどういうわけかよく解らないのだが、2012年から毎年センター試験の数学だけを解くようになって早5年になった(過去のセンター試験については、カテゴリ「数学」を参照)。以下、今年の私の答案。あくまでも趣味的作業につき、内容の正確性は期待しないでください・・・(言い訳)。私よりもはるかにきれいに解説をまとめている方がいらっしゃるので、ご参考までに(「2016年センター試験 数学Ⅱ・数学Bの解説ページを作成しました|今日も8時間睡眠」)。私もいつまでも手書きで済ますのではなく、この方のようにPCで解答を作成できるようになりたい。

 《問題・解答(東進ハイスクールHPにジャンプします)》
 2016年センター試験 数学ⅡB 問題解答
 
 以下、主観的難易度(★☆☆:易~★★★:難)とコメント。
 【第1問(★☆☆)】指数・対数関数、三角関数
 〔1〕(3)で、t=log2x(x>0)の範囲を選択する際、「②t>0かつt≠1」というのに騙されそうになった。「0より大きく、かつ1以外」でなければならないのは、対数の真数条件である。〔2〕k=1/4の時、sin2x-4k=0とcos2x=0を満たすxの値が1つずつあると判断して、解の個数を2個とすると誤り。sin2x-4k=0もcos2x=0も、解はx=π/4であり、重解である。

 【第2問(★★☆)】積分
 2直線x=a、x=a+1と、C1:y=x2/2+1/2、C2:y=x2/4で囲まれた図形Dについて、4点(a, 0)、(a+1, 0)、(a+1, 1)、(a, 1)を頂点とする正方形Rの外側にある部分がどこなのか迷ってしまった。図を丁寧に描いてみることが大切だ。それから、(この問題に限らず、センター試験全般に言えるのだが、)計算が非常に面倒くさいため、慎重さを失ってはならない。

 【第3問(★★★)】数列
 数列は個人的に好きなので、難しいが楽しい。|1/2|1/3, 2/3|1/4, 2/4, 3/4|・・・というふうに区切ると、第m群がm個の項からなる群数列であることが解る。(2)a104は、第104項が第Mk項から第Nk項の間にあると考えて、不等式を解く。無理数の計算がやや面倒である。

 【第4問(★☆☆)】ベクトル
 センター試験のベクトルの問題は、ほとんど計算問題のようなものであり、図形的な発想はあまり要求されない。(1)|PQ|2はsとtの2次式で表されるが、(sの1次式)2+(tの1次式)2+kと変形すると最小値を求めることが可能となる。

 【第5問】統計(※省略)

センター試験数学ⅡB(2016年_1)
センター試験数学ⅡB(2016年_2)
センター試験数学ⅡB(2016年_3)
センター試験数学ⅡB(2016年_4)



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