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【数学ⅡB】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)
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谷藤友彦(やとうともひこ)

谷藤友彦

 東京から実家のある岐阜市にUターンした中小企業診断士(コンサルタント・トレーナー)。ほとんど書評ブログ。たまにモノローグ。双極性障害Ⅱ型を公表しながら仕事をしているのは、「双極性障害(精神障害)の人=仕事ができない、そのくせ扱いが難しい」という世間の印象を覆したいため。

 中長期的な研究分野は、
 ①日本の精神、歴史、伝統、文化に根差した戦略論を構築すること。
 ②高齢社会における新しいマネジメント(特に人材マネジメント)のあり方を確立すること。
 ③20世紀の日本企業の経営に大きな影響を与えたピーター・ドラッカーの著書を、21世紀という新しい時代の文脈の中で再解釈すること。
 ④日本人の精神の養分となっている中国古典を読み解き、21世紀の日本人が生きるための指針を導くこと。
 ⑤激動の多元的な国際社会の中で、日本のあるべき政治的ポジショニングを模索すること。

 好きなもの=Mr.Childrenサザンオールスターズoasis阪神タイガース水曜どうでしょう、数学(30歳を過ぎてから数学ⅢCをやり出した)。

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2018年01月20日

【数学ⅡB】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)


数学

 【2018年センター試験シリーズ】
 【世界史B】センター試験(2018年)オリジナル解説
 【日本史B】センター試験(2018年)オリジナル解説
 【化学】センター試験(2018年)オリジナル解説
 【数学ⅠA】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)
 【数学ⅡB】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)
 《過去の戦歴》
 センター試験数学ⅡB(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(旧ブログ)
 【数学ⅡB】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅡB】2014年センター試験を3年連続で解いてみた
 【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)
 【数学ⅡB】センター試験(2016年)を解いてみた(5年連続)
 【数学ⅡB】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)

 問題、解答は「センター試験2018|解答速報2018|予備校の東進」を参照。数学ⅠAに続いて自力で解き、一応全問正解した。繰り返しになるが、おじさんだって頑張ればできるのだ。数学ⅠAとは違って邪道な解き方をしていないから、下図の解き方が適切な解き方だと思う。きちんとした解説を知りたい方は、予備校のHPでご確認ください。全体の難易度はそれほど高くないと感じたのだけれども、予備校のHPを見ると、平均点は数学ⅠAよりも約10点ほど低い50点台になっている。数学ⅡBは計算量が多いため、時間切れになってしまう受験生が多いと推測される。計算力を上げるには、やはりたくさんの問題を集中的に解くしか方法はない。なお、第5問は例によって統計の問題であるため、割愛した(何度も言うが、来年こそは解こう)。

 【第1問】三角関数、指数・対数関数(難易度:★☆☆)←難易度は私の主観。
 〔1〕は、最初に改めてラジアンの定義を尋ねられると、一体何だったかと一瞬迷ってしまった。(3)は三角関数の方程式の問題だが、問題文中で「加法定理を用いると」、「三角関数の合成を用いると」と丁寧に指示されているので、それに従えば解ける。x=θ+π/5、π/2≦θ≦πより、x-π/3の範囲に注意する。〔2〕は指数・対数関数に関する標準的な問題である。一般に、y=logaxにおいて、底の条件よりa>0かつa≠1、真数条件よりx>0、yの閾値は実数全体である。

 【第2問】微分・積分(難易度:★★☆)
 この問題に限らないが、図をできるだけ正確に描いて、設問で何が問われているのかを正確に把握することが重要である。〔1〕の(2)は、「1<v<v0の範囲でUは・・・」とあり、最後に「v>1におけるUの最小値は・・・」とあることから、最初から増減表を書いた方が解きやすい。〔2〕は、f(x)がx≧1の範囲で常にf(x)≦0を満たすことから、下図にあるように面積を求めるべき図形はx軸より下にあるため、マイナスのつけ忘れに注意。W=-F(t)+F(1)であるが、F'(t)=f(t)、またF(1)は定数であるからF'(1)=0であることに気づくと、W'=-f(t)であると解る。

 【第3問】数列(難易度:★★☆)
 (1)(2)は公差数列、公比数列の基本中の基本の問題であるから、絶対に落としてはならない。(1)(2)の結果は(3)で使用するため、(1)(2)を間違えると全滅する。(3)については、数列{cn}の定義がややこしいが、要するに、cnn(a1-b1)+(n-1)(a2-b2)+・・・+2(an-1-bn-1)+1(an-bn)を見ると、下線部はnから1まで順番に減っていき、カッコ内は1からnまで順番に増えていくということである。よって、cn+1は、下線部をn+1から1まで順番に減らしていき、カッコ内を1からn+1まで順番に増やしていけばよい。dnを求めた後は、階差数列を用いた一般項の求め方に従う。Σ2・3k+2については、Σ2・33・3k-1=Σ54・3k-1と変形すると、初項54、公比3の等比数列の和を求めるのと同じ式になる。

 【第4問】ベクトル(難易度:★★☆)
 第3問、第4問とも、問題文が長くて一瞬戸惑うが、問題文が長いということは、それだけヒントもたくさん隠されているということである。特に数学ⅡBの場合は、設問文の中で解き方を誘導している箇所があるため、問題文をよく読み込むことが大切である。個人的には、s=-a/(1-a)、t=-3(1-a)と答えさせるのがいやらしいと感じた(下線部が解答部分)。普通はs=a/(a-1)、t=3(a-1)と書きたくなるものである。ただ、0<a<1より、a-1<0となるから、マイナスの値にある値をかけるという形で答えさせるのを出題者が嫌ったのかもしれない。

センター試験(2018年)数学ⅡB①
センター試験(2018年)数学ⅡB②
センター試験(2018年)数学ⅡB③
センター試験(2018年)数学ⅡB④
センター試験(2018年)数学ⅡB⑤
センター試験(2018年)数学ⅡB⑥



2018年01月18日

【数学ⅠA】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)


数学

 【2018年センター試験シリーズ】
 【世界史B】センター試験(2018年)オリジナル解説
 【日本史B】センター試験(2018年)オリジナル解説
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 【数学ⅠA】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)

 問題、解答は「センター試験2018|解答速報2018|予備校の東進」を参照。日本史、世界史、化学は参考書を使いながら解説を書いたが、数学だけは例年と同様自力で解いた。今年から統計が選択問題から必須問題になった。私の受験生時代(18年前)には学習の範囲外だったため、統計の問題だけは今回もパスした(ビジネスで統計を使う場面もあるのだから、いい加減勉強して解けるようになれよと言われそうだが・・・)。代わりに、選択問題になっている第3問~第5問を全て解いたので、それで勘弁していただきたい。一応、自力で解いた問題は全て正解した。おじさんだって頑張ればできるのだ。以下に私の解答を示すが、一部邪道な解き方をしている箇所がある。ちゃんとした解説は予備校のHPでご確認ください。

 【第1問】式と計算、集合、二次関数(難易度:★☆☆)←難易度は私の主観。
 〔1〕は式を入れ替えてx(5-x)が出現するように工夫する。〔2〕は、集合A、B、Cの要素を丁寧に拾い上げていけば解ける。必要条件、十分条件の問題はここ数年の定番問題となっている。〔3〕は、y=f(x)の軸のx座標p=1+3/a>1であるため、0≦x≦4において関数f(x)の最小値がf(0)となるケースは考えなくてよい。

 【第2問】三角比(難易度:★★☆)
 〔1〕台形ABCDは、辺ADと辺BCが平行か、辺ABと辺CDが平行のどちらかである。まずは辺ADと辺BCが平行であると仮定してみた。この時、AB・sin∠ABCは台形の高さを表すが、台形の高さが辺CDよりも長くなってしまうため、仮定が誤りであると判明する。〔2〕の統計の問題は省略。来年までには解けるようになろう。

 【第3問】確率(難易度:★★☆)
 条件付き確率も定番の問題である。(4)の「(2回の施行で)三つの事象A、B、Cがいずれもちょうど1回ずつ起こる確率」は最初意味が解らなかったが、その前段で「1回目に事象A∧Bが起こり、2回目に事象Aの否定∧Cが起こる確率」を求めている部分がヒントになった。2回の施行でA、B、Cがいずれも1回ずつ起こるためには、(1回目, 2回目)=(A∧B, Cのみ)、(Cのみ, A∧B)、(A∧C, Bのみ)、(Bのみ, A∧C)であればよい(BとCは同時には起きない)。

 【第4問】整数(難易度:★★☆)
 個人的に整数の問題は苦手である。(2)、(3)は適当に整数をあてはめるという強引な解き方をしているので、正しい解説は予備校のHPをご参照いただきたい。

 【第5問】三角比(難易度:★★☆)
 方べきの定理、メネラウスの定理もセンター試験では頻出。チェバの定理も合わせて押さえておきたい。角の二等分線の定理を活用するのもポイントである。

センター試験数学(2018)ⅠA①
センター試験数学(2018)ⅠA②
センター試験数学(2018)ⅠA③
センター試験数学(2018)ⅠA④
センター試験数学(2018)ⅠA⑤
センター試験数学(2018)ⅠA⑥



2017年01月18日

【数学ⅡB】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)


数学

 《過去の戦歴》
 センター試験数学ⅡB(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(旧ブログ)
 【数学ⅡB】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅡB】2014年センター試験を3年連続で解いてみた
 【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)
 【数学ⅡB】センター試験(2016年)を解いてみた(5年連続)

 <予備校による解説>
 東進ハイスクール センター試験2017年 数学ⅡB

 解くのにすごく時間がかかったけれど、数学ⅡBは一応満点を取ることができた。数学ⅠAのような力技に頼らず、王道の解き方をしたつもりである。やはり年齢を重ねると計算のスピードが落ちるようである。それから、細かい勘違いやミスが多い。センター試験の場合は、解答欄にぴったりあてはまる答えでないと、答えが間違っていると教えてくれるため、今回はそれに随分と助けられた。以下の難易度はあくまでも私の主観である。

 【第1問】《難易度:★☆☆》三角関数/指数・対数関数
 〔1〕は、cos2α+cos2βとcos2α・cos2βの値が求められれば、2次方程式の解と係数の関係より、cos2αとcos2βがx2-17/15x+4/15=0の2つの解であることが解る。〔2〕は、logxan=nlogxa、logxa+logxb=logxa・b、logxa-logxb=logxa/bと変形できることを利用する。

 【第2問】《難易度:★☆☆》微分・積分
 センター試験特有の計算の面倒臭さはあるが、問われている内容は至ってシンプルである。S=-2(a3-a2)ではなく、S=2(a2-a3)と答えさせるところが若干いやらしいと感じた。面積の最大値や値の変化を求める際には、aの値の範囲に注意して増減表を書く。

 【第3問】《難易度:★★☆》数列
 Unを求めるために、Un-4Unを計算させている。下図のように、Unに4をかけると、項が1つずつ右にずれるので、Un-4Un=2・42+43+44+・・・+4n+1-(n+1)・4n+2となる。ここで、43+44+・・・+4n+1を、(1+4+42+43+44+・・・+4n-1)-(1+4+42)+(4n+4n+1)と変形し、等比数列の和の公式を用いて計算をする。余談だが、4Unの最後の項を(n+1)・4n+2ではなく、ずっと(n+1)・4n+1と勘違いしたまま計算していたため、解答欄に合った答えが得られずに随分と時間を食ってしまった。加齢の証拠である。

 【第4問】《難易度:★★☆》ベクトル
 ここでも、(3)において、点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線の交点Hのことを、最初は点Cから直線EPに引いた垂線と直線EPの交点と勘違いしてしまった。Hの座標を(p, q)とすると、ベクトルCHが得られる。ベクトルCHとベクトルEPが垂直に交わることから、ベクトルCH・ベクトルEP=0となり、a、p、qからなる式が得られる。また、Hは直線EP上の点であるから、ベクトルEH=rベクトルEPと表せる。よって、aとrからなる式が得られる。ところが、3つの変数(p、q、r)に対し式が2つだけなので、どうすればよいものかと途方に暮れてしまった。自分の勘違いにようやく気づくと、HはPからCE上に下ろした垂線上にあることから、Hのy座標はaだと解った。あとは、x座標をpとおけば、ベクトルCH・ベクトルEP=0よりpが得られる。

 (※【第5問】は確率の問題であり、私が高校生の時の学習範囲から外れるため省略した)
 
センター試験(2017年)数学ⅡB①
センター試験(2017年)数学ⅡB②
センター試験(2017年)数学ⅡB③
センター試験(2017年)数学ⅡB④




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