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【数学Ⅱ(三角関数)】m=0, 1, 2, ……, 89とするとき、tanm°が有理数となるような整数mを全て求めよ

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谷藤友彦(やとうともひこ)

谷藤友彦

 東京都豊島区を拠点に、東京23区で活動する中小企業診断士(コンサルタント・トレーナー)。コンサルティングなどの仕事の実際の中身は守秘義務の関係で書くのが難しいため、書評が中心となっている点は何卒ご容赦あれ。

 専門領域は、(1)経営ビジョン・事業戦略の策定、(2)ビジョンや戦略とリンクした人材育成計画の立案・人事評価制度の構築、(3)人材育成計画に沿った教育研修プログラムの企画・開発。

 モットーは「日々改善、日々成長」、「実事求是」、「組織のためではなく知識のために働く」、「奇策は定石より先に立たず」、「一貫性(Consistency)」、「(無知の知ならぬ)無知の恥」

 好きなもの=Mr.Childrenサザンオールスターズoasis阪神タイガース水曜どうでしょう、数学(30歳を過ぎてから数学ⅢCをやり出した)。

 ブログタイトルに、oasisの往年の名曲『Whatever』を入れてみた。

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(一社)東京都中小診断士協会一般社団法人東京都中小企業診断士協会
(城北支部執行委員、青年部長を務めています)

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(独立診断士の立場から、企業内診断士の活動を応援しています)

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2018年01月20日

【数学ⅡB】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)


数学

 【2018年センター試験シリーズ】
 【世界史B】センター試験(2018年)オリジナル解説
 【日本史B】センター試験(2018年)オリジナル解説
 【化学】センター試験(2018年)オリジナル解説
 【数学ⅠA】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)
 【数学ⅡB】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)
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 センター試験数学ⅡB(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(旧ブログ)
 【数学ⅡB】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅡB】2014年センター試験を3年連続で解いてみた
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 【数学ⅡB】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)

 問題、解答は「センター試験2018|解答速報2018|予備校の東進」を参照。数学ⅠAに続いて自力で解き、一応全問正解した。繰り返しになるが、おじさんだって頑張ればできるのだ。数学ⅠAとは違って邪道な解き方をしていないから、下図の解き方が適切な解き方だと思う。きちんとした解説を知りたい方は、予備校のHPでご確認ください。全体の難易度はそれほど高くないと感じたのだけれども、予備校のHPを見ると、平均点は数学ⅠAよりも約10点ほど低い50点台になっている。数学ⅡBは計算量が多いため、時間切れになってしまう受験生が多いと推測される。計算力を上げるには、やはりたくさんの問題を集中的に解くしか方法はない。なお、第5問は例によって統計の問題であるため、割愛した(何度も言うが、来年こそは解こう)。

 【第1問】三角関数、指数・対数関数(難易度:★☆☆)←難易度は私の主観。
 〔1〕は、最初に改めてラジアンの定義を尋ねられると、一体何だったかと一瞬迷ってしまった。(3)は三角関数の方程式の問題だが、問題文中で「加法定理を用いると」、「三角関数の合成を用いると」と丁寧に指示されているので、それに従えば解ける。x=θ+π/5、π/2≦θ≦πより、x-π/3の範囲に注意する。〔2〕は指数・対数関数に関する標準的な問題である。一般に、y=logaxにおいて、底の条件よりa>0かつa≠1、真数条件よりx>0、yの閾値は実数全体である。

 【第2問】微分・積分(難易度:★★☆)
 この問題に限らないが、図をできるだけ正確に描いて、設問で何が問われているのかを正確に把握することが重要である。〔1〕の(2)は、「1<v<v0の範囲でUは・・・」とあり、最後に「v>1におけるUの最小値は・・・」とあることから、最初から増減表を書いた方が解きやすい。〔2〕は、f(x)がx≧1の範囲で常にf(x)≦0を満たすことから、下図にあるように面積を求めるべき図形はx軸より下にあるため、マイナスのつけ忘れに注意。W=-F(t)+F(1)であるが、F'(t)=f(t)、またF(1)は定数であるからF'(1)=0であることに気づくと、W'=-f(t)であると解る。

 【第3問】数列(難易度:★★☆)
 (1)(2)は公差数列、公比数列の基本中の基本の問題であるから、絶対に落としてはならない。(1)(2)の結果は(3)で使用するため、(1)(2)を間違えると全滅する。(3)については、数列{cn}の定義がややこしいが、要するに、cnn(a1-b1)+(n-1)(a2-b2)+・・・+2(an-1-bn-1)+1(an-bn)を見ると、下線部はnから1まで順番に減っていき、カッコ内は1からnまで順番に増えていくということである。よって、cn+1は、下線部をn+1から1まで順番に減らしていき、カッコ内を1からn+1まで順番に増やしていけばよい。dnを求めた後は、階差数列を用いた一般項の求め方に従う。Σ2・3k+2については、Σ2・33・3k-1=Σ54・3k-1と変形すると、初項54、公比3の等比数列の和を求めるのと同じ式になる。

 【第4問】ベクトル(難易度:★★☆)
 第3問、第4問とも、問題文が長くて一瞬戸惑うが、問題文が長いということは、それだけヒントもたくさん隠されているということである。特に数学ⅡBの場合は、設問文の中で解き方を誘導している箇所があるため、問題文をよく読み込むことが大切である。個人的には、s=-a/(1-a)、t=-3(1-a)と答えさせるのがいやらしいと感じた(下線部が解答部分)。普通はs=a/(a-1)、t=3(a-1)と書きたくなるものである。ただ、0<a<1より、a-1<0となるから、マイナスの値にある値をかけるという形で答えさせるのを出題者が嫌ったのかもしれない。

センター試験(2018年)数学ⅡB①
センター試験(2018年)数学ⅡB②
センター試験(2018年)数学ⅡB③
センター試験(2018年)数学ⅡB④
センター試験(2018年)数学ⅡB⑤
センター試験(2018年)数学ⅡB⑥



2015年01月20日

【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)


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 続いて数学ⅡB。今年は多くの受験生が数学ⅡBで涙を呑んだようである。第5問「確率分布と統計的な推測」は新しい学習指導要領に対応した設問であり、私は解けないので、第3問と第4問を選択した。数学ⅠAと同様、統計学を勉強したら第5問にもチャレンジするつもりである。

 《過去3年の戦歴》
 センター試験数学ⅡB(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(※旧ブログ)
 【数学ⅡB】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅡB】2014年センター試験を3年連続で解いてみた

 《2015年センター試験 問題・解答》
 2015年センター試験 数学ⅡB 問題
 2015年センター試験 数学ⅡB 解答(※東進ハイスクールのHPにジャンプします)

 【第1問(三角関数、指数関数:★★)】
 〔1〕まずは作図して点Pと点Qの位置関係を把握することが大切である。点P(2cosθ, 2sinθ)は、単位円の半径を2倍した円上の点である。点Qが(2cosθ+cos7θ, 2sinθ+sin7θ)で定義されており、一瞬面食らうのだが、実は点Pを中心とする半径1の円周上にある点である。各設問は加法定理を駆使して解いていけばよい。
 〔2〕累乗の計算がひたすら面倒な問題だった。マイナスの累乗を解答させるというのが何ともいやらしい。分数で表記すればいいのに。最後の設問の答えはa=2-5/4となったが、ルートの外に出せるものはできるだけ外に出して表記するという原則に従えば、これはa=1/2∜2となるから、設問はa=1/□∜□と表記して、□に入る値を解答させるのが筋ではないかと思った。

センター試験数学ⅡB(2015年)_1
センター試験数学ⅡB(2015年)_2

 【第2問(微分・積分:★)】
 微分係数、接線の方程式、直線と曲線で囲まれた部分の面積など、微分・積分のオーソドックスな問題。計算さえ間違えなければ普通の問題である。

センター試験数学ⅡB(2015年)_3

 【第3問(数列:★★★)】
 これが一番厄介だった。式が何を意味しているのかを理解するのが難しい上に、計算に非常に手間取った。bn+4=3/2bnより、4項ごとに2/3倍される数列であることが解る。したがって、一般項を求めるにあたり、b4k-3、b4k-2、b4k-1、b4kと場合分けがされている。

 S4m=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+・・・b4m-3+b4m-2+b4m-1+b4m
 =(b1+b5+・・・+b4m-3)+(b2+b6+・・・+b4m-2) +(b3+b7+・・・+b4m-1) +(b4+b8+・・・+b4m)であり、Σ[m, k=1]b4k-3、Σ[m, k=1]b4k-2、Σ[m, k=1]b4k-1、Σ[m, k=1]b4kの和であることに気づくかどうかがポイント。また、T4mは、直前に求めたb4k-3・b4k-2・b4k-1・b4kの積を利用して、T4m=(b1・b2・b3・b4)×(b5・b6・b7・b8)×・・・×(b4m-3・b4m-2・b4m-1・b4m)と表される。( )の数はm個である。
 T4m={1/4(3/2)0)}×{1/4(3/2)4)}×{1/4(3/2)8)}×・・・×{1/4(3/2)4(m-1))}
 =1/4m(3/2)0+4+8+・・・+4(m-1)
 3/2の指数の部分は、初項0、公差4、項数mの等差数列の和である。

センター試験数学ⅡB(2015年)_4

 【第4問(ベクトル:★★)】
 普通、こういう四角形の場合は、ベクトルOAをベクトルa、ベクトルOCをベクトルcと置くのだが、対角線にあたるベクトルOBをベクトルbとして使うよう指示されており、少しやりづらかった。ただ、問題そのものは、同じベクトルを2通りで表し、1次独立であることを利用して係数を求めるなど、平均的な内容である。t=5/4より、点Qは辺BCを5:1に外分する点である。tの値が1を超えるので、最初は計算間違いかもしれないと思った。しかし、設問には「辺BC上に点Qを・・・」ではなく「直線BC上に点Qを・・・」とあったので、多分大丈夫だと信じて解き進めた。

センター試験数学ⅡB(2015年)_5



2014年01月23日

【数学Ⅱ(三角関数)】m=0, 1, 2, ……, 89とするとき、tanm°が有理数となるような整数mを全て求めよ


 以前の記事「【数学Ⅱ(三角関数)】tan1°は有理数か?(京都大)」の補足。tan1°から順番に無理数であることを証明していったのだが、tan9°のところでつまづいてしまった。

 tan9°が有理数であると仮定すると、
 tan18°=tan(9+9)°で有理数
 tan27°=tan(18+9)°で有理
 tan36°=tan(27+9)°で有理数・・・(1)
 ・・・(中略)・・・
 tan90°=tan(81°+9)°で有理数となるが、tan90°は定義されない。よって、最初の仮定が誤りであり、tan9°は無理数である、という証明を最初は考えていた。だが、「tan90°が定義されないこと」は背理法には使えない。例えば、tan45°が有理数であると仮定すると、tan90°=tan(45+45)°で有理数となる。ところが、tan90°は定義されないため、最初の仮定が誤りであり、tan45°は無理数ということになる。これは明らかに、tan45°=1(有理数)であることに反する。

 仕方なく、半ば強引な方法だが、tan36°を求めてこれが無理数であることを示し、(1)との矛盾を導くことにした。36°=θとおくと、5θ=180°であるから、3θ=180°-2θである。よって、sin3θ=sin(180°-2θ)となる。この式を三倍角の公式「sin3θ=3sinθ-4sin3θ」を用いて簡単にすれば、cosθを求めることができる。

 なお、cos3θ=cos(180°-2θ)とした場合は、三倍角の公式「cos3θ=4cos3θ-3cosθ」を用いれば、同様にcosθが求められる(ただし、cosθの3次方程式になるため、やや面倒である)。また、cos36°を求める方法には、正五角形を用いる方法もある。下図の下段にそれを示した。

tan9°は無理数か?

 この問題には、まだ続きがある。そして、こちらの方がはるかに難しい。
 m=0, 1, 2, ……, 89とするとき、tanm°が有理数となるような整数mを全て求めよ。
 前回の記事で、tan1°から順番に無理数であることを示していった過程を見てみると、mが9の倍数以外の時は、nm=

 30°+360°×k
 60°+360°×k
 120°+360°×k
 150°+360°×k
 210°+360°×k
 240°+360°×k
 300°+360°×k
 330°+360°×k

を満たすnとkが存在しそうである。tanm°が有理数であると仮定すると、加法定理を利用すれば、tan2m°、tan3m°、・・・、tannm°が有理数であることが導かれる。ところが、nmは上記8パターンのいずれかに該当し、その時のtannm°の値は±√3、±1/√3のいずれかになるため、tannm°は無理数となって最初の仮定と矛盾する。

 あとは、mが9の倍数の場合である。tan9°とtan36°が無理数であることは解っているから、残りのtan18°とtan27°を倍角の公式などを利用して力づくで計算しようとしたが、ルートだらけになって挫折した(汗)。「tanm°が有理数ならば、tannm°は有理数である」ことが帰納的に証明されているので、その対偶「tannm°が無理数ならば、tanm°は無理数である」を利用する。つまり、tanα°が無理数ならば、αの約数βについて、tanβ°も無理数となるわけだ。

tanm°のうち有理数となるものを求めよ



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