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【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)
【数学Ⅱ(三角関数)】m=0, 1, 2, ……, 89とするとき、tanm°が有理数となるような整数mを全て求めよ
【数学ⅠA】2014年センター試験を3年連続で解いてみた

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谷藤友彦(やとうともひこ)

谷藤友彦

 東京23区、神奈川県川崎市・横浜市を中心に活動する中小企業診断士・コンサルタント。

 専門領域は、(1)経営ビジョン・事業戦略の策定、(2)ビジョンや戦略とリンクした人材育成計画の立案・人事評価制度の構築、(3)人材育成計画に沿った教育研修プログラムの企画・開発。

 モットーは「日々改善、日々成長」、「実事求是」、「組織のためではなく知識のために働く」、「奇策は定石より先に立たず」、「一貫性(Consistency)」、「(無知の知ならぬ)無知の恥」

 好きなもの=Mr.Childrenサザンオールスターズoasis阪神タイガース水曜どうでしょう、数学(30歳を過ぎてから数学ⅢCをやり出した)。

 ブログタイトルに、oasisの往年の名曲『Whatever』を入れてみた。

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2015年01月20日

【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)


チャート式基礎からの数学II+Bチャート式基礎からの数学II+B

数研出版 2012-11

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 続いて数学ⅡB。今年は多くの受験生が数学ⅡBで涙を呑んだようである。第5問「確率分布と統計的な推測」は新しい学習指導要領に対応した設問であり、私は解けないので、第3問と第4問を選択した。数学ⅠAと同様、統計学を勉強したら第5問にもチャレンジするつもりである。

 《過去3年の戦歴》
 センター試験数学ⅡB(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(※旧ブログ)
 【数学ⅡB】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅡB】2014年センター試験を3年連続で解いてみた

 《2015年センター試験 問題・解答》
 2015年センター試験 数学ⅡB 問題
 2015年センター試験 数学ⅡB 解答(※東進ハイスクールのHPにジャンプします)

 【第1問(三角関数、指数関数:★★)】
 〔1〕まずは作図して点Pと点Qの位置関係を把握することが大切である。点P(2cosθ, 2sinθ)は、単位円の半径を2倍した円上の点である。点Qが(2cosθ+cos7θ, 2sinθ+sin7θ)で定義されており、一瞬面食らうのだが、実は点Pを中心とする半径1の円周上にある点である。各設問は加法定理を駆使して解いていけばよい。
 〔2〕累乗の計算がひたすら面倒な問題だった。マイナスの累乗を解答させるというのが何ともいやらしい。分数で表記すればいいのに。最後の設問の答えはa=2-5/4となったが、ルートの外に出せるものはできるだけ外に出して表記するという原則に従えば、これはa=1/2∜2となるから、設問はa=1/□∜□と表記して、□に入る値を解答させるのが筋ではないかと思った。

センター試験数学ⅡB(2015年)_1
センター試験数学ⅡB(2015年)_2

 【第2問(微分・積分:★)】
 微分係数、接線の方程式、直線と曲線で囲まれた部分の面積など、微分・積分のオーソドックスな問題。計算さえ間違えなければ普通の問題である。

センター試験数学ⅡB(2015年)_3

 【第3問(数列:★★★)】
 これが一番厄介だった。式が何を意味しているのかを理解するのが難しい上に、計算に非常に手間取った。bn+4=3/2bnより、4項ごとに2/3倍される数列であることが解る。したがって、一般項を求めるにあたり、b4k-3、b4k-2、b4k-1、b4kと場合分けがされている。

 S4m=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+・・・b4m-3+b4m-2+b4m-1+b4m
 =(b1+b5+・・・+b4m-3)+(b2+b6+・・・+b4m-2) +(b3+b7+・・・+b4m-1) +(b4+b8+・・・+b4m)であり、Σ[m, k=1]b4k-3、Σ[m, k=1]b4k-2、Σ[m, k=1]b4k-1、Σ[m, k=1]b4kの和であることに気づくかどうかがポイント。また、T4mは、直前に求めたb4k-3・b4k-2・b4k-1・b4kの積を利用して、T4m=(b1・b2・b3・b4)×(b5・b6・b7・b8)×・・・×(b4m-3・b4m-2・b4m-1・b4m)と表される。( )の数はm個である。
 T4m={1/4(3/2)0)}×{1/4(3/2)4)}×{1/4(3/2)8)}×・・・×{1/4(3/2)4(m-1))}
 =1/4m(3/2)0+4+8+・・・+4(m-1)
 3/2の指数の部分は、初項0、公差4、項数mの等差数列の和である。

センター試験数学ⅡB(2015年)_4

 【第4問(ベクトル:★★)】
 普通、こういう四角形の場合は、ベクトルOAをベクトルa、ベクトルOCをベクトルcと置くのだが、対角線にあたるベクトルOBをベクトルbとして使うよう指示されており、少しやりづらかった。ただ、問題そのものは、同じベクトルを2通りで表し、1次独立であることを利用して係数を求めるなど、平均的な内容である。t=5/4より、点Qは辺BCを5:1に外分する点である。tの値が1を超えるので、最初は計算間違いかもしれないと思った。しかし、設問には「辺BC上に点Qを・・・」ではなく「直線BC上に点Qを・・・」とあったので、多分大丈夫だと信じて解き進めた。

センター試験数学ⅡB(2015年)_5



2014年01月23日

【数学Ⅱ(三角関数)】m=0, 1, 2, ……, 89とするとき、tanm°が有理数となるような整数mを全て求めよ


 以前の記事「【数学Ⅱ(三角関数)】tan1°は有理数か?(京都大)」の補足。tan1°から順番に無理数であることを証明していったのだが、tan9°のところでつまづいてしまった。

 tan9°が有理数であると仮定すると、
 tan18°=tan(9+9)°で有理数
 tan27°=tan(18+9)°で有理
 tan36°=tan(27+9)°で有理数・・・(1)
 ・・・(中略)・・・
 tan90°=tan(81°+9)°で有理数となるが、tan90°は定義されない。よって、最初の仮定が誤りであり、tan9°は無理数である、という証明を最初は考えていた。だが、「tan90°が定義されないこと」は背理法には使えない。例えば、tan45°が有理数であると仮定すると、tan90°=tan(45+45)°で有理数となる。ところが、tan90°は定義されないため、最初の仮定が誤りであり、tan45°は無理数ということになる。これは明らかに、tan45°=1(有理数)であることに反する。

 仕方なく、半ば強引な方法だが、tan36°を求めてこれが無理数であることを示し、(1)との矛盾を導くことにした。36°=θとおくと、5θ=180°であるから、3θ=180°-2θである。よって、sin3θ=sin(180°-2θ)となる。この式を三倍角の公式「sin3θ=3sinθ-4sin3θ」を用いて簡単にすれば、cosθを求めることができる。

 なお、cos3θ=cos(180°-2θ)とした場合は、三倍角の公式「cos3θ=4cos3θ-3cosθ」を用いれば、同様にcosθが求められる(ただし、cosθの3次方程式になるため、やや面倒である)。また、cos36°を求める方法には、正五角形を用いる方法もある。下図の下段にそれを示した。

tan9°は無理数か?

 この問題には、まだ続きがある。そして、こちらの方がはるかに難しい。
 m=0, 1, 2, ……, 89とするとき、tanm°が有理数となるような整数mを全て求めよ。
 前回の記事で、tan1°から順番に無理数であることを示していった過程を見てみると、mが9の倍数以外の時は、nm=

 30°+360°×k
 60°+360°×k
 120°+360°×k
 150°+360°×k
 210°+360°×k
 240°+360°×k
 300°+360°×k
 330°+360°×k

を満たすnとkが存在しそうである。tanm°が有理数であると仮定すると、加法定理を利用すれば、tan2m°、tan3m°、・・・、tannm°が有理数であることが導かれる。ところが、nmは上記8パターンのいずれかに該当し、その時のtannm°の値は±√3、±1/√3のいずれかになるため、tannm°は無理数となって最初の仮定と矛盾する。

 あとは、mが9の倍数の場合である。tan9°とtan36°が無理数であることは解っているから、残りのtan18°とtan27°を倍角の公式などを利用して力づくで計算しようとしたが、ルートだらけになって挫折した(汗)。「tanm°が有理数ならば、tannm°は有理数である」ことが帰納的に証明されているので、その対偶「tannm°が無理数ならば、tanm°は無理数である」を利用する。つまり、tanα°が無理数ならば、αの約数βについて、tanβ°も無理数となるわけだ。

tanm°のうち有理数となるものを求めよ



カテゴリ: 数学 コメント( 0 )
2014年01月20日

【数学ⅠA】2014年センター試験を3年連続で解いてみた


新課程チャート式基礎からの数学1+A新課程チャート式基礎からの数学1+A
チャート研究所

数研出版 2012-02-14

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 勝手に最近の冬の恒例行事にしている「センター試験の数学を解いてみた」も今年で3回目。今年はビシッと100点を獲得。もっとも、ノートをまとめるのに2時間かかっているので意味がないが・・・。以下、解いてみた感想。

 【第1問 [1]式と計算、[2]集合】[1]はルートに気をつけてひたすら計算するだけ。[2]はどの集合も個数がそれほど多くないので、書き出してみるのがベスト。(3)の否定を含む集合は、ド・モルガンの定理を使うのがポイントである。

 【第2問 2次関数】非常に基本的な問題。最後にある「2次関数のグラフGが x 軸と共有点を持ち、さらにその全ての共有点の x 座標が-1より大きくなるような a の値の範囲」を求めるには、Gの方程式の右辺をf(x)とおき、2次方程式f(x)=0がx>-1の範囲で実数解を持つための条件を求めればよい。すなわち、ⅰ)判別式≧0、ⅱ)軸の方程式>-1、ⅲ)f(-1)>0となる。

 【第3問 三角関数】昨年は多くの受験生を泣かせた三角関数の問題だが、今年はやや易化。と言っても、計算が面倒くさいことに変わりはない。(1)でBEを求めるところは、他に方法が思いつかず、2倍角の公式を使ってしまった(反則)。(3)は設問の「角度に注目すると」がヒントで、円周角の定理を使うといろんなことが明らかになる。

 【第4問 場合の数】いわゆる経路図の問題。指定された到達地点にたどり着くまでに、1~6の矢印をそれぞれいくつずつ使えばよいのかを考える。(4)はセンター試験なので設問による誘導があるが、これが国立大学の2次試験ならば、いきなり「交差点Aを出発し、6回移動して交差点Dにいる移動の仕方は何通りか求めよ」となるのだろう。

 《過去2年の成績》
 センター試験数学ⅠA(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(※旧ブログ)
 【数学ⅠA】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた

 《2014年センター試験 問題・解答》
 2014年センター試験 数学ⅠA 問題
 2014年センター試験 数学ⅠA 解答(※東進ハイスクールのHPにジャンプします)

2014センター試験数学ⅠA_1
2014センター試験数学ⅠA_2
2014センター試験数学ⅠA_3
2014センター試験数学ⅠA_4




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