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【数学ⅡB】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)
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谷藤友彦(やとうともひこ)

谷藤友彦

 東京23区、神奈川県川崎市・横浜市を中心に活動する中小企業診断士・コンサルタント。

 専門領域は、(1)経営ビジョン・事業戦略の策定、(2)ビジョンや戦略とリンクした人材育成計画の立案・人事評価制度の構築、(3)人材育成計画に沿った教育研修プログラムの企画・開発。

 モットーは「日々改善、日々成長」、「実事求是」、「組織のためではなく知識のために働く」、「奇策は定石より先に立たず」、「一貫性(Consistency)」、「(無知の知ならぬ)無知の恥」

 好きなもの=Mr.Childrenサザンオールスターズoasis阪神タイガース水曜どうでしょう、数学(30歳を過ぎてから数学ⅢCをやり出した)。

 ブログタイトルに、oasisの往年の名曲『Whatever』を入れてみた。

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2017年01月18日

【数学ⅡB】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)

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数学

 《過去の戦歴》
 センター試験数学ⅡB(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(旧ブログ)
 【数学ⅡB】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅡB】2014年センター試験を3年連続で解いてみた
 【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)
 【数学ⅡB】センター試験(2016年)を解いてみた(5年連続)

 <予備校による解説>
 東進ハイスクール センター試験2017年 数学ⅡB

 解くのにすごく時間がかかったけれど、数学ⅡBは一応満点を取ることができた。数学ⅠAのような力技に頼らず、王道の解き方をしたつもりである。やはり年齢を重ねると計算のスピードが落ちるようである。それから、細かい勘違いやミスが多い。センター試験の場合は、解答欄にぴったりあてはまる答えでないと、答えが間違っていると教えてくれるため、今回はそれに随分と助けられた。以下の難易度はあくまでも私の主観である。

 【第1問】《難易度:★☆☆》三角関数/指数・対数関数
 〔1〕は、cos2α+cos2βとcos2α・cos2βの値が求められれば、2次方程式の解と係数の関係より、cos2αとcos2βがx2-17/15x+4/15=0の2つの解であることが解る。〔2〕は、logxan=nlogxa、logxa+logxb=logxa・b、logxa-logxb=logxa/bと変形できることを利用する。

 【第2問】《難易度:★☆☆》微分・積分
 センター試験特有の計算の面倒臭さはあるが、問われている内容は至ってシンプルである。S=-2(a3-a2)ではなく、S=2(a2-a3)と答えさせるところが若干いやらしいと感じた。面積の最大値や値の変化を求める際には、aの値の範囲に注意して増減表を書く。

 【第3問】《難易度:★★☆》数列
 Unを求めるために、Un-4Unを計算させている。下図のように、Unに4をかけると、項が1つずつ右にずれるので、Un-4Un=2・42+43+44+・・・+4n+1-(n+1)・4n+2となる。ここで、43+44+・・・+4n+1を、(1+4+42+43+44+・・・+4n-1)-(1+4+42)+(4n+4n+1)と変形し、等比数列の和の公式を用いて計算をする。余談だが、4Unの最後の項を(n+1)・4n+2ではなく、ずっと(n+1)・4n+1と勘違いしたまま計算していたため、解答欄に合った答えが得られずに随分と時間を食ってしまった。加齢の証拠である。

 【第4問】《難易度:★★☆》ベクトル
 ここでも、(3)において、点Pから直線CEに引いた垂線と、点Cから直線EPに引いた垂線の交点Hのことを、最初は点Cから直線EPに引いた垂線と直線EPの交点と勘違いしてしまった。Hの座標を(p, q)とすると、ベクトルCHが得られる。ベクトルCHとベクトルEPが垂直に交わることから、ベクトルCH・ベクトルEP=0となり、a、p、qからなる式が得られる。また、Hは直線EP上の点であるから、ベクトルEH=rベクトルEPと表せる。よって、aとrからなる式が得られる。ところが、3つの変数(p、q、r)に対し式が2つだけなので、どうすればよいものかと途方に暮れてしまった。自分の勘違いにようやく気づくと、HはPからCE上に下ろした垂線上にあることから、Hのy座標はaだと解った。あとは、x座標をpとおけば、ベクトルCH・ベクトルEP=0よりpが得られる。

 (※【第5問】は確率の問題であり、私が高校生の時の学習範囲から外れるため省略した)
 
センター試験(2017年)数学ⅡB①
センター試験(2017年)数学ⅡB②
センター試験(2017年)数学ⅡB③
センター試験(2017年)数学ⅡB④


カテゴリ: 数学 コメント( 0 )
2016年01月19日

【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(5年連続)

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 自分でもどういうわけかよく解らないのだが、2012年から毎年センター試験の数学だけを解くようになって早5年になった(過去のセンター試験については、カテゴリ「数学」を参照)。以下、今年の私の答案。あくまでも趣味的作業につき、内容の正確性は期待しないでください・・・(言い訳)。私よりもはるかにきれいに解説をまとめている方がいらっしゃるので、ご参考までに(「2016年センター試験 数学Ⅱ・数学Bの解説ページを作成しました|今日も8時間睡眠」)。私もいつまでも手書きで済ますのではなく、この方のようにPCで解答を作成できるようになりたい。

 《問題・解答(東進ハイスクールHPにジャンプします)》
 2016年センター試験 数学ⅡB 問題解答
 
 以下、主観的難易度(★☆☆:易~★★★:難)とコメント。
 【第1問(★☆☆)】指数・対数関数、三角関数
 〔1〕(3)で、t=log2x(x>0)の範囲を選択する際、「②t>0かつt≠1」というのに騙されそうになった。「0より大きく、かつ1以外」でなければならないのは、対数の真数条件である。〔2〕k=1/4の時、sin2x-4k=0とcos2x=0を満たすxの値が1つずつあると判断して、解の個数を2個とすると誤り。sin2x-4k=0もcos2x=0も、解はx=π/4であり、重解である。

 【第2問(★★☆)】積分
 2直線x=a、x=a+1と、C1:y=x2/2+1/2、C2:y=x2/4で囲まれた図形Dについて、4点(a, 0)、(a+1, 0)、(a+1, 1)、(a, 1)を頂点とする正方形Rの外側にある部分がどこなのか迷ってしまった。図を丁寧に描いてみることが大切だ。それから、(この問題に限らず、センター試験全般に言えるのだが、)計算が非常に面倒くさいため、慎重さを失ってはならない。

 【第3問(★★★)】数列
 数列は個人的に好きなので、難しいが楽しい。|1/2|1/3, 2/3|1/4, 2/4, 3/4|・・・というふうに区切ると、第m群がm個の項からなる群数列であることが解る。(2)a104は、第104項が第Mk項から第Nk項の間にあると考えて、不等式を解く。無理数の計算がやや面倒である。

 【第4問(★☆☆)】ベクトル
 センター試験のベクトルの問題は、ほとんど計算問題のようなものであり、図形的な発想はあまり要求されない。(1)|PQ|2はsとtの2次式で表されるが、(sの1次式)2+(tの1次式)2+kと変形すると最小値を求めることが可能となる。

 【第5問】統計(※省略)

センター試験数学ⅡB(2016年_1)
センター試験数学ⅡB(2016年_2)
センター試験数学ⅡB(2016年_3)
センター試験数学ⅡB(2016年_4)


2015年01月20日

【数学ⅡB】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)

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 続いて数学ⅡB。今年は多くの受験生が数学ⅡBで涙を呑んだようである。第5問「確率分布と統計的な推測」は新しい学習指導要領に対応した設問であり、私は解けないので、第3問と第4問を選択した。数学ⅠAと同様、統計学を勉強したら第5問にもチャレンジするつもりである。

 《過去3年の戦歴》
 センター試験数学ⅡB(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(※旧ブログ)
 【数学ⅡB】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅡB】2014年センター試験を3年連続で解いてみた

 《2015年センター試験 問題・解答》
 2015年センター試験 数学ⅡB 問題
 2015年センター試験 数学ⅡB 解答(※東進ハイスクールのHPにジャンプします)

 【第1問(三角関数、指数関数:★★)】
 〔1〕まずは作図して点Pと点Qの位置関係を把握することが大切である。点P(2cosθ, 2sinθ)は、単位円の半径を2倍した円上の点である。点Qが(2cosθ+cos7θ, 2sinθ+sin7θ)で定義されており、一瞬面食らうのだが、実は点Pを中心とする半径1の円周上にある点である。各設問は加法定理を駆使して解いていけばよい。
 〔2〕累乗の計算がひたすら面倒な問題だった。マイナスの累乗を解答させるというのが何ともいやらしい。分数で表記すればいいのに。最後の設問の答えはa=2-5/4となったが、ルートの外に出せるものはできるだけ外に出して表記するという原則に従えば、これはa=1/2∜2となるから、設問はa=1/□∜□と表記して、□に入る値を解答させるのが筋ではないかと思った。

センター試験数学ⅡB(2015年)_1
センター試験数学ⅡB(2015年)_2

 【第2問(微分・積分:★)】
 微分係数、接線の方程式、直線と曲線で囲まれた部分の面積など、微分・積分のオーソドックスな問題。計算さえ間違えなければ普通の問題である。

センター試験数学ⅡB(2015年)_3

 【第3問(数列:★★★)】
 これが一番厄介だった。式が何を意味しているのかを理解するのが難しい上に、計算に非常に手間取った。bn+4=3/2bnより、4項ごとに2/3倍される数列であることが解る。したがって、一般項を求めるにあたり、b4k-3、b4k-2、b4k-1、b4kと場合分けがされている。

 S4m=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+・・・b4m-3+b4m-2+b4m-1+b4m
 =(b1+b5+・・・+b4m-3)+(b2+b6+・・・+b4m-2) +(b3+b7+・・・+b4m-1) +(b4+b8+・・・+b4m)であり、Σ[m, k=1]b4k-3、Σ[m, k=1]b4k-2、Σ[m, k=1]b4k-1、Σ[m, k=1]b4kの和であることに気づくかどうかがポイント。また、T4mは、直前に求めたb4k-3・b4k-2・b4k-1・b4kの積を利用して、T4m=(b1・b2・b3・b4)×(b5・b6・b7・b8)×・・・×(b4m-3・b4m-2・b4m-1・b4m)と表される。( )の数はm個である。
 T4m={1/4(3/2)0)}×{1/4(3/2)4)}×{1/4(3/2)8)}×・・・×{1/4(3/2)4(m-1))}
 =1/4m(3/2)0+4+8+・・・+4(m-1)
 3/2の指数の部分は、初項0、公差4、項数mの等差数列の和である。

センター試験数学ⅡB(2015年)_4

 【第4問(ベクトル:★★)】
 普通、こういう四角形の場合は、ベクトルOAをベクトルa、ベクトルOCをベクトルcと置くのだが、対角線にあたるベクトルOBをベクトルbとして使うよう指示されており、少しやりづらかった。ただ、問題そのものは、同じベクトルを2通りで表し、1次独立であることを利用して係数を求めるなど、平均的な内容である。t=5/4より、点Qは辺BCを5:1に外分する点である。tの値が1を超えるので、最初は計算間違いかもしれないと思った。しかし、設問には「辺BC上に点Qを・・・」ではなく「直線BC上に点Qを・・・」とあったので、多分大丈夫だと信じて解き進めた。

センター試験数学ⅡB(2015年)_5


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