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　以前の記事「【数学Ⅱ（三角関数）】tan1°は有理数か？（京都大）」の補足。tan1°から順番に無理数であることを証明していったのだが、tan9°のところでつまづいてしまった。

　tan9°が有理数であると仮定すると、
　tan18°＝tan（9＋9）°で有理数
　tan27°＝tan（18＋9）°で有理
　tan36°＝tan（27＋9）°で有理数・・・（1）
　・・・（中略）・・・
　tan90°＝tan（81°＋9）°で有理数となるが、tan90°は定義されない。よって、最初の仮定が誤りであり、tan9°は無理数である、という証明を最初は考えていた。だが、「tan90°が定義されないこと」は背理法には使えない。例えば、tan45°が有理数であると仮定すると、tan90°＝tan（45＋45）°で有理数となる。ところが、tan90°は定義されないため、最初の仮定が誤りであり、tan45°は無理数ということになる。これは明らかに、tan45°＝1（有理数）であることに反する。

　仕方なく、半ば強引な方法だが、tan36°を求めてこれが無理数であることを示し、（1）との矛盾を導くことにした。36°＝θとおくと、5θ＝180°であるから、3θ＝180°－2θである。よって、sin3θ＝sin（180°－2θ）となる。この式を三倍角の公式「sin3θ＝3sinθ－4sin³θ」を用いて簡単にすれば、cosθを求めることができる。

　なお、cos3θ＝cos（180°－2θ）とした場合は、三倍角の公式「cos3θ＝4cos³θ－3cosθ」を用いれば、同様にcosθが求められる（ただし、cosθの3次方程式になるため、やや面倒である）。また、cos36°を求める方法には、正五角形を用いる方法もある。下図の下段にそれを示した。



　この問題には、まだ続きがある。そして、こちらの方がはるかに難しい。

　m＝0, 1, 2, ……, 89とするとき、tanm°が有理数となるような整数mを全て求めよ。

　前回の記事で、tan1°から順番に無理数であることを示していった過程を見てみると、mが9の倍数以外の時は、nm＝

　30°＋360°×k
　60°＋360°×k
　120°＋360°×k
　150°＋360°×k
　210°＋360°×k
　240°＋360°×k
　300°＋360°×k
　330°＋360°×k

を満たすnとkが存在しそうである。tanm°が有理数であると仮定すると、加法定理を利用すれば、tan2m°、tan3m°、・・・、tannm°が有理数であることが導かれる。ところが、nmは上記8パターンのいずれかに該当し、その時のtannm°の値は±√3、±1/√3のいずれかになるため、tannm°は無理数となって最初の仮定と矛盾する。

　あとは、mが9の倍数の場合である。tan9°とtan36°が無理数であることは解っているから、残りのtan18°とtan27°を倍角の公式などを利用して力づくで計算しようとしたが、ルートだらけになって挫折した（汗）。「tanm°が有理数ならば、tannm°は有理数である」ことが帰納的に証明されているので、その対偶「tannm°が無理数ならば、tanm°は無理数である」を利用する。つまり、tanα°が無理数ならば、αの約数βについて、tanβ°も無理数となるわけだ。

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