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【数学ⅡB】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)
【数学B(数列)】漸化式の特性方程式はなぜあの形なのか?

プロフィール
谷藤友彦(やとうともひこ)

谷藤友彦

 東京都城北エリア(板橋・練馬・荒川・台東・北)を中心に活動する中小企業診断士(経営コンサルタント、研修・セミナー講師)。2007年8月中小企業診断士登録。主な実績はこちら

 好きなもの=Mr.Childrenサザンオールスターズoasis阪神タイガース水曜どうでしょう、数学(30歳を過ぎてから数学ⅢCをやり出した)。

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2018年01月20日

【数学ⅡB】センター試験(2018年)を解いてみた(7年連続)


数学

 【2018年センター試験シリーズ】
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 【数学ⅡB】センター試験(2016年)を解いてみた(5年連続)
 【数学ⅡB】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)

 問題、解答は「センター試験2018|解答速報2018|予備校の東進」を参照。数学ⅠAに続いて自力で解き、一応全問正解した。繰り返しになるが、おじさんだって頑張ればできるのだ。数学ⅠAとは違って邪道な解き方をしていないから、下図の解き方が適切な解き方だと思う。きちんとした解説を知りたい方は、予備校のHPでご確認ください。全体の難易度はそれほど高くないと感じたのだけれども、予備校のHPを見ると、平均点は数学ⅠAよりも約10点ほど低い50点台になっている。数学ⅡBは計算量が多いため、時間切れになってしまう受験生が多いと推測される。計算力を上げるには、やはりたくさんの問題を集中的に解くしか方法はない。なお、第5問は例によって統計の問題であるため、割愛した(何度も言うが、来年こそは解こう)。

 【第1問】三角関数、指数・対数関数(難易度:★☆☆)←難易度は私の主観。
 〔1〕は、最初に改めてラジアンの定義を尋ねられると、一体何だったかと一瞬迷ってしまった。(3)は三角関数の方程式の問題だが、問題文中で「加法定理を用いると」、「三角関数の合成を用いると」と丁寧に指示されているので、それに従えば解ける。x=θ+π/5、π/2≦θ≦πより、x-π/3の範囲に注意する。〔2〕は指数・対数関数に関する標準的な問題である。一般に、y=logaxにおいて、底の条件よりa>0かつa≠1、真数条件よりx>0、yの閾値は実数全体である。

 【第2問】微分・積分(難易度:★★☆)
 この問題に限らないが、図をできるだけ正確に描いて、設問で何が問われているのかを正確に把握することが重要である。〔1〕の(2)は、「1<v<v0の範囲でUは・・・」とあり、最後に「v>1におけるUの最小値は・・・」とあることから、最初から増減表を書いた方が解きやすい。〔2〕は、f(x)がx≧1の範囲で常にf(x)≦0を満たすことから、下図にあるように面積を求めるべき図形はx軸より下にあるため、マイナスのつけ忘れに注意。W=-F(t)+F(1)であるが、F'(t)=f(t)、またF(1)は定数であるからF'(1)=0であることに気づくと、W'=-f(t)であると解る。

 【第3問】数列(難易度:★★☆)
 (1)(2)は公差数列、公比数列の基本中の基本の問題であるから、絶対に落としてはならない。(1)(2)の結果は(3)で使用するため、(1)(2)を間違えると全滅する。(3)については、数列{cn}の定義がややこしいが、要するに、cnn(a1-b1)+(n-1)(a2-b2)+・・・+2(an-1-bn-1)+1(an-bn)を見ると、下線部はnから1まで順番に減っていき、カッコ内は1からnまで順番に増えていくということである。よって、cn+1は、下線部をn+1から1まで順番に減らしていき、カッコ内を1からn+1まで順番に増やしていけばよい。dnを求めた後は、階差数列を用いた一般項の求め方に従う。Σ2・3k+2については、Σ2・33・3k-1=Σ54・3k-1と変形すると、初項54、公比3の等比数列の和を求めるのと同じ式になる。

 【第4問】ベクトル(難易度:★★☆)
 第3問、第4問とも、問題文が長くて一瞬戸惑うが、問題文が長いということは、それだけヒントもたくさん隠されているということである。特に数学ⅡBの場合は、設問文の中で解き方を誘導している箇所があるため、問題文をよく読み込むことが大切である。個人的には、s=-a/(1-a)、t=-3(1-a)と答えさせるのがいやらしいと感じた(下線部が解答部分)。普通はs=a/(a-1)、t=3(a-1)と書きたくなるものである。ただ、0<a<1より、a-1<0となるから、マイナスの値にある値をかけるという形で答えさせるのを出題者が嫌ったのかもしれない。

センター試験(2018年)数学ⅡB①
センター試験(2018年)数学ⅡB②
センター試験(2018年)数学ⅡB③
センター試験(2018年)数学ⅡB④
センター試験(2018年)数学ⅡB⑤
センター試験(2018年)数学ⅡB⑥


2013年12月13日

【数学B(数列)】漸化式の特性方程式はなぜあの形なのか?


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 2項間の漸化式「an+1=pan+q(p≠0、1(※p=0の時、2項間の漸化式でなくなるため除外。また、p=1の時は階差数列となり、別の解き方があるため、これも除外))」から一般項 an を導くには、まず an+1 と an を x に変えた特性方程式「x=px+q」を解く。また、3項間の漸化式「an+2=pan+1+qan(p≠0、q≠0(※p=0 または q=0 の時、3項間の漸化式でなくなるため除外))」から一般項 an を導くには、まず an+2 を x2 、 an+1 を x 、 an を 1 に変えた特性方程式「x2=px+q」を解く。以上が高校で習った内容だったが、どうしてこの形の特性方程式でよいのか、あまり深く考えたことがなかった。そこで、特性方程式を実際に導いてみることにした。


 その前に、2項間の漸化式から一般項を求める方法のおさらい。

 an+1=pan+q(p≠0、1)、a1=r について、
 特性方程式 x=px+q の解を x=α とすると、
 an+1-α=p(an-α) と変形できる。
 よって、数列{an-α}は、初項 a1-α=r-α 、公比 p の等比数列である。
 したがって、 an-α=(r-α)pn-1
 ∴ an=(r-α)pn-1+α ・・・①
 ここで、 x=px+q の解が x=α であるから、 α=pα+q ∴ (1-p)α=q
 p≠1 より、 α=q/(1-p)
 ①に代入すると、 an={r-q/(1-p)}pn-1+q/(1-p)

 <例題>
 an+1=3an+4、a1=2 の一般項 an を求めよ。
 <解答>
 特性方程式 x=3x+4 を解くと x=-2
 よって、与えられた漸化式は、 an+1+2=3(an+2) と変形できる。
 数列{an+2}は、初項 a1+2=2+2=4 、公比 3 の等比数列である。
 したがって、 an+2=4・3n-1
 ∴ an=4・3n-1-2


 では、特性方程式「x=px+q」を導いてみる。

 漸化式 an+1=pan+q ・・・②を
 an+1-α=p(an-α) ・・・③と変形することを考える。
 ③より、 an+1=pan+α-pα
 ②を代入すると、 pan+q=pan+α-pα
 ∴ α=pα+q
 よって、 α は方程式 x=px+q の解である。


 次に、3項間の漸化式から一般項を求める方法のおさらい。

 an+2=pan+1+qan(p≠0、q≠0) 、 a1=r 、 a2=s について、
 特性方程式 x2=px+q の2つの実数解を α 、 β (α<β)とすると、
 an+2-αan+1=β(an+1-αan) ・・・④
 an+2-βan+1=α(an+1-βan) ・・・⑤ と変形できる。
 ④より、数列{an+1-αan}は、初項 a2-αa1=s-αr 、公比 β の等比数列である。
 よって、 an+1-αan=(s-αr)βn-1 ・・・⑥
 ⑤より、数列{an+1-βan}は、初項 a2-βa1=s-βr 、公比 α の等比数列である。
 よって、 an+1-βan=(s-βr)αn-1 ・・・⑦
 ⑦-⑥より、 (β-α)an=(s-βr)αn-1-(s-αr)βn-1
 α≠βより、 an={(s-βr)αn-1-(s-αr)βn-1}/(β-α)

 <例題>
 an+2=2an+1+8an 、 a1=3 、 a2=5 の一般項を求めよ。
 <解答>
 特性方程式 x2=2x+8 を解くと、 (x-4)(x+2)=0 より、 x=4, -2
 よって、与えられた漸化式は、
 an+2-4an+1=-2(an+1-4an) ・・・⑧
 an+2+2an+1=4(an+1+2an) ・・・⑨ と変形できる。
 ⑧より、数列{an+1-4an}は、初項 a2-4a1=5-4・3=-7 、公比 -2 の等比数列である。
 よって、 an+1-4an=-7(-2)n-1 ・・・⑩
 ⑨より、数列{an+1+2an}は、初項 a2+2a1=5+2・3=11 、公比 4 の等比数列である。
 よって、 an+1+2an=11・4n-1 ・・・⑪
 ⑪-⑩より、 6an=11・4n-1+7(-2)n-1
 ∴ an={11・4n-1+7(-2)n-1}/6


 同じように、特性方程式「x2=px+q」を導いてみる。

 漸化式 an+2=pan+1+qan ・・・⑫ を、
 an+2-αan+1=β(an+1-αan) ・・・⑬
 an+2-βan+1=α(an+1-βan) ・・・⑭ と変形することを考える。
 ⑬⑭より、 an+2=(α+β)an+1-αβan
 ⑫を代入すると、 pan+1+qan=(α+β)an+1-αβan
 ∴ (α+β-p)an+1-(αβ+q)an=0
 この式が全ての an について成立することより、
 α+β-p=0 、 αβ+q=0
 ∴ α+β=p 、 αβ=-q
 よって、 α 、 β は2次方程式 x2-px-q=0 すなわち x2=px+q の解である。


 それにしても、
 ・「an+1=pan+q」から「an+1-α=p(an-α)」への変形
 ・「an+2=pan+1+qan」から
 「an+2-αan+1=β(an+1-αan)」と「an+2-βan+1=α(an+1-βan)」への変形
を思いついた数学者がすごいわ。




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