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【数学ⅠA】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)
【数学ⅠA】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)
【数学ⅠA】2014年センター試験を3年連続で解いてみた

プロフィール
谷藤友彦(やとうともひこ)

谷藤友彦

 東京都城北エリア(板橋・練馬・荒川・台東・北)を中心に活動する中小企業診断士(経営コンサルタント、研修・セミナー講師)。2007年8月中小企業診断士登録。主な実績はこちら

 好きなもの=Mr.Childrenサザンオールスターズoasis阪神タイガース水曜どうでしょう、数学(30歳を過ぎてから数学ⅢCをやり出した)。

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2017年01月17日

【数学ⅠA】センター試験(2017年)を解いてみた(6年連続)


数学

 《過去の戦歴》
 センター試験数学ⅠA(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(旧ブログ)
 【数学ⅠA】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅠA】2014年センター試験を3年連続で解いてみた
 【数学ⅠA】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)
 【数学ⅠA】センター試験(2016年)を解いてみた(5年連続)

 <予備校による解説>
 東進ハイスクール センター試験2017年 数学ⅠA

 30歳を過ぎてからなぜか毎年この時期にセンター試験の数学の問題を解くようになり、今年で6年目である。今年の数学ⅠAは1問間違えて、1問はどうしても解けなかった(悔しい)。整数の問題は相変わらず苦手である。下記の画像でもお解りのように、力技でかなり強引に解いた。以下の難易度は、あくまでも私の主観である。

 【第1問】《難易度:★★☆》式の計算/命題と条件/2次関数
 〔1〕は単純な式の計算。〔2〕の「命題と条件」で1問間違えてしまった。(pまたはqの否定)(x=1またはx2≠1)⇒q(x2=1)は偽である(反例:x=1)。また、q(x2=1)⇒(pまたはqの否定)(x=1またはx2≠1)も偽である(反例:x=-1)。よって、(pまたはqの否定)はqであるための「必要条件でも十分条件でもない」が正解。〔3〕の「2次関数」も単純な計算問題。最後に頂点のy座標の最小値を求めるところで、下図ではいきなりt=0のとき最小値となると書いてしまったが、正確には、t=a2よりt≧0であるから、t=0のとき最小値となる、と書くのが正しい。

 【第2問】《難易度:★☆☆》三角比/データと分析
 〔1〕は正弦定理、余弦定理、三角比を用いた三角形の面積の求め方を知っていれば解ける。△ABCの外接円の半径を求めるところで、下図では正弦定理を用いてAC/sin∠ABC=2Rと書いているが、右辺は「直径の2倍」だと勘違いしたまま、さらに求めるのも外接円の「直径」だと勘違いしたまま解いていた(汗)。結果的に正解だったからよかったが・・・。〔2〕の「データ分析」は、私が高校生の時には学習範囲外だったため省略。ただ、基本的な統計の問題であり、中小企業診断士の試験にも出てくるような問題であるから、来年は解けるようになりたい。

 【第3問】《難易度:★★☆》確率
 和事象を尋ねる問題が目新しいと感じた。B、Cの少なくとも一方があたりくじを引く場合は、「Bのみがあたりを引く(P)」、「Cのみがあたりを引く(Q)」、「AとBがあたりを引く(R)」、「BとCがあたりを引く(S)」、「CとAがあたりを引く(T)」の5つの場合である。

 ⓪Aがはずれのくじを引く事象⇒BまたはCがあたりを引く事象
 ①Aだけがはずれのくじを引く事象⇒BとCがあたりを引く事象
 ②Bがはずれのくじを引く事象⇒CまたはAがあたりを引く事象
 ③Bだけがはずれのくじを引く事象⇒CとAがあたりを引く事象
 ④Cがはずれのくじを引く事象⇒AまたはBがあたりを引く事象
 ⑤Cだけがはずれのくじを引く事象⇒AとBがあたりを引く事象

 P、Q、Sを合わせたものが①に該当する。Rは⑤に、Tは③に該当する。よって、事象E2は①③⑤の和事象である。くじ引きの対象性より、B、Cの少なくとも一方があたりのくじを引く確率、C、Aの少なくとも一方があたりのくじを引く確率、A、Bの少なくとも一方があたりのくじを引く確率は等しい。これに気づけば、(5)は3つの条件つき確率を計算しなくても回答できる。

 【第4問】《難易度:★★★》実数
 (2)は力技で説いた。7b5cが4でも9でも割り切れる時、7b5cは36の倍数である。7b5c=7000+100b+50+c=36(195+2b)+(28b+c+30)と変形し、(28b+c+30)が36の倍数となるようなb、cの組み合わせを、実際にb、cをそれぞれ0~9まで変化させて発見した。ただし、cに関して言えば、7b5cが36の倍数であることから、cは0、2、4、6、8のいずれかでしかないので、多少は絞り込める。本当の解き方は次の通りである。まず、7b5cが4で割り切れることから、5cが4の倍数であるため、cは2または6に限定される。次に、7b5cが9で割り切れることから、各位の数の和は9の倍数であり、7+b+5+c=12+b+cは9の倍数である。0≦b+c≦18より、12≦12+b+c≦30であり、b+c≦18となる。c=2の時、b=4、c=6の時、b=0、9となる。

 1188の全ての正の約数の積を2進数で表す時、2=10(2)であるから、2の倍数を1つかけるたびに0が1つ増えることが解る。4=100(2)より、4の倍数を1つかけると0が2つ増えることに注意すると、求める0の数は、2の倍数の数と4の倍数の和である。

 【第5問】《難易度:★★☆》平面図形/三角比
 私の作図がそもそも間違っていた(大汗)。△ABDの内接円と書かれているのに、BとDしか通っていない。BC・CEは直感的にAC・ADに等しいだろうと思って計算した。正確に作図すれば、方べきの定理を用いることになる。私の作図ではAF>BFとなるが、メネラウスの定理を使ってBF/AFを計算したところ12/7となった。これはBF>AFを意味しており、図が矛盾してここで詰んだ。正確に作図していればちゃんとBF>AFとなるため、BF/AF=12/7よりAFが計算できる。

センター試験(2017年)数学ⅠA①
センター試験(2017年)数学ⅠA②
センター試験(2017年)数学ⅠA③
センター試験(2017年)数学ⅠA④
センター試験(2017年)数学ⅠA⑤


2015年01月19日

【数学ⅠA】センター試験(2015年)を解いてみた(4年連続)


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 今年もセンター試験の数学ⅠA・ⅡBを解いてみた。ⅡBが難しかったとネット上で受験生が悲鳴を上げていたようだが、IAもやや難化した印象を受けた(厳密に言えば、難しいというよりも、計算がひたすら面倒くさい感じだった)。

 なお、今年から新しい学習指導要領に対応しているようで、第3問が「データの分析」という問題であった。ただ、私が高校生だった時代にはこの分野は学習していないので、第3問はスキップし、代わりに選択問題である第4問と第5問を両方とも解答することにした。「データの分析」はビジネスで求められる統計学の問題であり、本来ならば習っていなくても解けるのが望ましいのだが、それができなくて恥ずかしい・・・。統計学を勉強したら、第3問も追記する予定である。

 以下、私のノートを公開する。力づくで解いたり、通常とは異なる方法を使ったりしている箇所があるため、ちゃんとした解説を知りたい方は予備校のHPをご覧いただきたい。★は個人的に感じた難易度である(★易~★★★難)。

 《過去3年の戦歴》
 センター試験数学ⅠA(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(※旧ブログ)
 【数学ⅠA】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
 【数学ⅠA】2014年センター試験を3年連続で解いてみた

 《2015年センター試験 問題・解答》
 2015年センター試験 数学ⅠA 問題
 2015年センター試験 数学ⅠA 解答(※東進ハイスクールのHPにジャンプします)

 【第1問(2次関数:★)】
 定義域が固定されていて、軸が動く場合の最大値と最小値を考える問題。pの範囲を求める際に、等号が含まれるかどうか慎重な判断が必要である。p=1の場合は、x=2=1+pの時、最大値f(2)=f(1+p)、p=2の場合は、x=3=1+pの時、最小値f(3)=f(1+p)となる。

センター試験数学ⅠA(2015年)_1

 【第2問(集合と命題、三角比:★★)】
 〔1〕(2)は30以下の素数を1つずつ調べれば何とかなる。
 〔2〕は正弦定理と余弦定理を駆使する。

センター試験数学ⅠA(2015年)_2

 【第4問(場合の数:★)】
 今年の数学ⅠA、ⅡBを通じて、この設問が最も簡単だと感じた。特定のマスの色を固定すれば他のマスの色が自ずと決まるため、漏れなく数え上げればそれほど苦労せずに解ける。

センター試験数学ⅠA(2015年)_3

 【第5問(整数の性質:★★)】
 一見すると問題文が非常に複雑に思えるが、実は単純なことを尋ねている。√amが11で割ると1余るということは、(2)より√am=126kであり、(3)で126kを11で割ると1余るkを求めているから、「√amが11で割ると1余る⇒126kを11で割ると1余る」である。なお、(3)は、問題文からkの値が1桁であることが解るため、1~9まで順番に調べるという荒業で解を導き出した。

センター試験数学ⅠA(2015年)_4

 【第6問(図形の性質:★★)】
 作図がきれいにできるように、今年はコンパスを購入した。最初、三角形ABDの外接円と、辺BCの点Bの側の延長線上との交点Eがなかなか作図できなくて困った。私は昔から平面幾何の問題が苦手で、邪道だが途中でベクトルを使ってしまった(多分、本当はチェバの定理などを使うのだと思う)。問題文に「∠CAB=∠CED」とさらっと書いてあるが、これは、弧DBの円周角について∠DAB=∠DEBが成立するためである。

センター試験数学ⅠA(2015年)_5


2014年01月20日

【数学ⅠA】2014年センター試験を3年連続で解いてみた


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 勝手に最近の冬の恒例行事にしている「センター試験の数学を解いてみた」も今年で3回目。今年はビシッと100点を獲得。もっとも、ノートをまとめるのに2時間かかっているので意味がないが・・・。以下、解いてみた感想。

 【第1問 [1]式と計算、[2]集合】[1]はルートに気をつけてひたすら計算するだけ。[2]はどの集合も個数がそれほど多くないので、書き出してみるのがベスト。(3)の否定を含む集合は、ド・モルガンの定理を使うのがポイントである。

 【第2問 2次関数】非常に基本的な問題。最後にある「2次関数のグラフGが x 軸と共有点を持ち、さらにその全ての共有点の x 座標が-1より大きくなるような a の値の範囲」を求めるには、Gの方程式の右辺をf(x)とおき、2次方程式f(x)=0がx>-1の範囲で実数解を持つための条件を求めればよい。すなわち、ⅰ)判別式≧0、ⅱ)軸の方程式>-1、ⅲ)f(-1)>0となる。

 【第3問 三角関数】昨年は多くの受験生を泣かせた三角関数の問題だが、今年はやや易化。と言っても、計算が面倒くさいことに変わりはない。(1)でBEを求めるところは、他に方法が思いつかず、2倍角の公式を使ってしまった(反則)。(3)は設問の「角度に注目すると」がヒントで、円周角の定理を使うといろんなことが明らかになる。

 【第4問 場合の数】いわゆる経路図の問題。指定された到達地点にたどり着くまでに、1~6の矢印をそれぞれいくつずつ使えばよいのかを考える。(4)はセンター試験なので設問による誘導があるが、これが国立大学の2次試験ならば、いきなり「交差点Aを出発し、6回移動して交差点Dにいる移動の仕方は何通りか求めよ」となるのだろう。

 《過去2年の成績》
 センター試験数学ⅠA(2012年度分)を約12年ぶりに解いてみた(※旧ブログ)
 【数学ⅠA】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた

 《2014年センター試験 問題・解答》
 2014年センター試験 数学ⅠA 問題
 2014年センター試験 数学ⅠA 解答(※東進ハイスクールのHPにジャンプします)

2014センター試験数学ⅠA_1
2014センター試験数学ⅠA_2
2014センター試験数学ⅠA_3
2014センター試験数学ⅠA_4





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